제곱 입력과 출력의 제곱이 같은 다항식의 모든 해

P(x^2)=[P(x)]^2\qquad(x\in\mathbb R),\qquad P\text{는 실수 다항식}.

가능한 P를 모두 구하라. 음수 입력을 제곱하므로 우함수만 가능하다는 답을 검토한다.

항상0인 P는 먼저 가능하다. 그 밖에는0이 아닌 가장 낮은 항을 분리하여 P=xᵐQ, Q(0)≠0으로 쓴다. 다항식 등식에서 x²ᵐ을 제거하면 Q(x²)=Q(x)²다. x=0을 넣어 Q(0)=1을 얻는다.

Q가 상수가 아니라고 하고 가장 낮은 양의 차수 항을 ctᵏ로 잡는다. Q(x)²의 xᵏ 계수는2c다. Q(x²)에서는 k가 홀수면 그 항이 없고, 짝수면 k/2차 계수가0이어서 역시 없다. c≠0과 모순이다.

\boxed{P=0\text{ 또는 }P(x)=x^m\quad(m=0,1,2,\ldots).}

직접 대입하면 모든 해가 맞는다. m이 홀수인 x도 가능하므로 우함수라는 추측은 거짓이다. 제곱된 바깥 출력 때문에 원래 P의 대칭 종류까지 제한되지는 않는다.