수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

인접한 양수 항의 비가 정하는 n제곱근 극한과 그 역방향

인접한 양수 항의 비가 정하는 n제곱근 극한과 그 역방향

맞물린 오래된 기어 구조

사진: Tangopaso · Public domain · 원본 출처

an>0,an+1an⟶r(0<r<∞).a_n>0,\qquad\frac{a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow r\quad(0<r<\infty).

aₙ의 n제곱근 극한을 구하고, 그 극한에서 인접한 항의 비도 되찾을 수 있는지 검토하라.

로그를 취하여 인접한 비의 로그를 더하면 중간 항이 지워진다.

ln⁡ann=ln⁡a1n+1n∑k=1n−1ln⁡ak+1ak⟶ln⁡r.\frac{\ln a_n}{n}=\frac{\ln a_1}{n}+\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{a_{k+1}}{a_k}\longrightarrow\ln r.

수렴하는 항들의 평균도 같은 값으로 간다. 처음의 유한한 차이는 n으로 나누면0이고, 뒤의 차이는 임의로 작게 만들 수 있기 때문이다. 지수함수를 적용하면 aₙ¹⁄ⁿ→r이다.

역방향은 거짓이다. aₙ=2⁻ⁿ에 n이 짝수면2,홀수면1을 곱한다. n제곱근은1/2로 가지만 인접 비는1과1/4를 번갈아 준다.

하나의 항 크기를 여러 단계의 비로 누적한 뒤 평균내면 짧은 진동이 사라질 수 있다. 변형식에 첫 항의 로그가 남는지, 실제 인접 비를 두 경우에서 계산했는지 함께 확인한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.