c를 고정했을 때 G의 최솟값과 위치를 구하라. x를 상수 밑처럼 미분하거나 x=0을 후보로 넣은 풀이를 검토한다.
G는 양수여서 H=ln G=xln x−cx를 최소로 하면 된다. H′=ln x+1−c는 x=eᶜ⁻¹에서만0이며 그 전에는 음수, 그 뒤에는 양수다.
x→0+에서는 xln x→0이므로 G→1이다. 하지만0은 정의역에 없고, 찾은 최솟값은1보다 작다. x→∞에서는 H=x(ln x−c)→∞여서 G도∞다.
로그를 씌운 함수가 원래 함수와 같은 입력에서 최소가 되는 것은 자연로그가 증가하기 때문이다. 로그의 최솟값 −eᶜ⁻¹을 원래 G의 정답으로 적지 않는다. 밑·지수가 모두 바뀌는 미분, 허용된 입력, 출력의 복원을 차례로 확인한다.
출처·착안: Stephen Cavadino, 「Radical Exponents」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.