x를 고정하고 지수 a를 움직이면 최소가 없는 밑도 있다

F_x(a)=\frac{x^a}{a},\qquad x>0\text{는 고정},\quad a>0.

x의 범위에 따라 F를 가장 작게 만드는 a가 있는지 판단하라. 분모 a가 커지면 값이 항상 작아진다는 답을 검토한다.

a로 미분하면 F′=xᵃ(a ln x−1)/a²다. x>1이면 부호는 a=1/ln x에서 음수에서 양수로 바뀐다.

\boxed{x>1:\ a=1/\ln x,\quad\min F_x=e\ln x.}

x=1이면 F=1/a라 계속 감소하고, 0<x<1이면 ln x<0여서 역시 계속 감소한다. 두 경우 모두 a→∞에서0에 가까워지지만 양수 함수라0을 얻지는 못한다. 따라서 최솟값이 없다.

모든 x에서 a→0+의 값은∞다. x>1에서는 큰 a 쪽도∞지만 밑1 이하에서는 그쪽이0으로 바뀐다. 고정한 문자와 미분할 문자를 먼저 표시하면, 밑의 경우 분류가 사라진 풀이를 확인하기 쉽다. 가까워지는0을 “최솟값0”으로 쓰지 않는다.