tan x=x는 가운데 구간에서는 한 해지만 전체에서는 무한히 많다

\tan x=x,\qquad \cos x\ne0.

각은 호도법이다. (−π/2,π/2)와 전체 정의역에서 해의 개수를 각각 판단하라. 가운데 그래프만 보고0이 유일한 실근이라는 답을 검토한다.

H=tan x−x의 도함수는 tan²x다. 각 정의 구간에서0 이상이고 한 구간 내내0인 부분은 없어서 H는 엄격히 증가한다. 가운데 구간에서는 H(0)=0이므로 해는0 하나다.

양의 정수 n에 대해 H(nπ)=−nπ<0이며 x→nπ+π/2−에서 H→∞다. 따라서 (nπ,nπ+π/2)에 정확히 한 해가 있다. (nπ−π/2,nπ)에서는 tan x<0,x>0이라 해가 없다.

\boxed{0\text{과 각 }(n\pi,n\pi+\pi/2)\text{의 한 해 및 그 음수값들}.}

음수 해는 기함수 성질로 대응한다. 정의되지 않는 점을 가로질러 하나의 증가 구간이라고 쓴 답은 고친다. 같은 미분식이어도 구간마다 끝의 값과 극한을 다시 확인해야 전체 해를 빠짐없이 센다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Why Radians?」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.