두 행렬을 각각 두 번 곱해 그대로여도 곱도 그럴까

A^2=A,\qquad B^2=B,\qquad (AB)^2\stackrel{?}=AB.

A,B는 실수 성분의 2행 2열 행렬이다. 물음표가 항상 등호인지 판단하고, AB=BA라는 추가 조건의 역할도 검토하라.

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad B_1=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

A²=A이고, B₁의 각 칸을 직접 곱하면 B₁²=B₁이다. 그러나

AB_1=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\0&0\end{pmatrix},\qquad (AB_1)^2=\begin{pmatrix}\tfrac14&\tfrac14\\0&0\end{pmatrix}\ne AB_1.

따라서 처음의 두 조건만으로는 곱의 성질이 이어지지 않는다. AB=BA를 추가하면 (AB)²=ABAB=A²B²=AB가 되어 충분하다. 가운데 B와 A의 자리를 바꾸는 근거를 정확히 적어야 한다.

다만 곱이 두 번 곱해도 그대로라는 사실에서 AB=BA를 거꾸로 결론 낼 수는 없다. 같은 A에 B₂=[[1,1],[0,0]]을 쓰면 B₂²=B₂, AB₂=B₂, B₂A=A다. AB₂는 조건을 만족하지만 두 곱은 다르다.

첫 반례에서는 B₁A=[[1/2,0],[1/2,0]]으로 AB₁과 다르다. 두 행렬을 각각 제곱하는 순간에는 문제가 없지만, AB₁AB₁의 가운데 두 행렬을 자리를 바꾸어 A²B₁²로 만든 줄이 잘못된 것이다.

이 세 계산을 나란히 보여 주면 학생이 ‘각자 성립’, ‘곱에도 성립’, ‘곱 순서를 바꿀 수 있음’을 같은 문장으로 쓰는지 확인할 수 있다. 반례는 첫 결론을 막고, B₂는 충분조건을 필요조건으로 바꾸는 답을 막는다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 이 문항과 풀이는 새로 작성했다.