서로 독립이어도, 성공 횟수가 같은 이항분포일까

두 시행은 서로 독립이다. 성공한 시행 수를 $X$라 할 때 “성공 확률의 평균이 $1/2$이므로 $X\sim B(2,1/2)$”라는 주장을 판단하라.

독립이라는 조건은 두 성공 확률을 곱할 수 있게 한다. 각 시행의 성공 확률이 같다는 조건까지 주지는 않는다. 이 예의 두 성공 확률은 다르므로 제시한 이항분포의 확률과 일치하지 않는다.

실제로 $E(X)=1$로 두 분포의 평균은 같다. 평균만 맞는다고 분포가 같지는 않다는 점이 이 문항의 갈림길이다. 양쪽 표의0회와2회 확률부터 비교하면 계산을 길게 하지 않아도 주장을 판단할 수 있다.

교사는 ‘독립’과 ‘같은 성공 확률’에 별도의 표시를 하게 한다. 성공 확률을 단순 평균으로 바꾸는 줄을 먼저 쓰게 하기보다, 0회·1회·2회의 사건을 각각 써서 무엇을 곱하고 더했는지 남기게 한다.

1회 성공은 첫째만 성공하거나 둘째만 성공하는 두 경우다. 확률은 $1/16+9/16=10/16$이며, 서로 다른 두 경우를 같은 확률이라고 보아서도 안 된다.

확인문제는 두 성공 확률이 모두 $1/2$로 주어진 경우의 표를 작성하게 한다. 그때 두 번의 독립시행이라는 조건과 고정된 성공 확률이 함께 충족되어 $B(2,1/2)$로 계산할 수 있다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.