직선의 계수가 모두 정수이므로 접점도 정수 좌표라는 답을 검토하라. 접선인지와 접점 좌표를 각각 구한다.
원점과 직선의 거리는5/√(3²+4²)=1이므로 l은 접선이다. 원점에서 법선 방향(3,4)을 따라 접점T를 구하면
두 좌표는 정수가 아니다. 하지만 T를 원의 식과 직선식에 넣으면 각각1과5가 되어 정확한 접점이다.
정수 조건을 붙일 대상
단위원 위 정수 좌표 점은(±1,0),(0,±1) 네 개뿐이다. x,y가 정수이면 x²와y²도0 이상인 정수이고 합이1이므로 하나는1, 다른 하나는0이어야 한다.
이 네 점에서의 접선은 x=±1, y=±1이다. 따라서 정수 계수의 접선이라도 이 네 축 방향 접선이 아니면 접점이 정수 좌표일 수 없다. 정수 계수는 직선을 표현하는 식의 성질이며, 교점이나 접점의 좌표 성질을 대신하지 않는다.
같은 직선을6x+8y=10으로 써도 접점은 변하지 않는다. 계수를2배했다고 좌표까지2배하지 않는다. 원의 반지름이나 직선의 실제 위치를 바꾼 것이 아니기 때문이다.
격자 그림을 쓸 때는 접점이 격자선 사이에 있다는 사실을 숨기지 않는다. 좌표를 가까운 정수로 옮기면 접점 조건을 만족하지 못한다. 문제의 주어진 수가 정수라는 이유로 답을 정수로 제한한 줄이 있는지 확인한다.
정수 좌표 점의 조건은 두 좌표 각각이 정수여야 한다. 한 좌표가 정수인 경우와도 다르다. 이 접점은 두 좌표 모두 분수로 원래 조건을 정확히 만족한다.
출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.