내분점까지는 맞았는데, 두 선분의 교점 비가 바뀌었다

\begin{aligned} A(0,0),\ B(6,0),\ C(0,6)\\ BD:DC=1:2 \end{aligned}

D는 BC의 내분점, E는 AB의 중점이다. AD와 CE의 교점 P에 대해 $AP:PD$ 를 구하라.

\begin{aligned} D&=(4,2),\quad E=(3,0)\\ P&=(4t,2t)=(3s,6-6s)\\ 4t&=3s,\quad 2t=6-6s\\ t&=\frac35,\quad s=\frac45 \end{aligned}

따라서 $P=(12/5,6/5)$ , $AP:PD=3:2$ 다. 두 계수가 모두 0과 1 사이이므로 실제 두 선분 위의 교점이다.

두 줄에서 다른 오류가 난다

답안	확인할 부분
D=(2,4)	BD:DC를 2:1로 뒤집었다.
AP:PD=3:5	AP:AD와 AP:PD를 혼동했다.

$t$ 는 AD 전체에서 AP가 차지하는 비율이다. 남은 PD는 전체의 $2/5$ 이므로 $t:(1-t)$ 를 써야 한다. 마지막에는 P가 $y=x/2$ , $y=6-2x$ 를 모두 만족하는지도 확인한다.

Don Steward의 벡터 문항은 같은 점을 두 방식으로 표현해 비를 구한다. 이 새 구성에서는 내분점 계산과 교점의 길이비를 다른 줄에서 채점하도록 했다.

출처·착안: Don Steward, 「harder GCSE vector questions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.