숫자 1,2,3,4를 네 계수에 한 번씩 넣는다. 이번에는 경계를 미리 3으로 주지 않고, 연속인 배치가 가능한 양수 t 자체를 찾게 하자.
연속이려면 경계의 두 높이가 같아야 하므로 at+b=ct−d다. b+d는 양수이니 c>a이어야 하며 t=(b+d)/(c−a)다. 남은 두 숫자는 b와 d의 순서만 바꿀 수 있어서 그 합은 정해진다.
| (a,c) | 남은 b+d | 가능한 t |
|---|---|---|
| (1,2) | 7 | 7 |
| (1,3) | 6 | 3 |
| (1,4) | 5 | 5/3 |
| (2,3) | 5 | 5 |
| (2,4) | 4 | 2 |
| (3,4) | 3 | 3 |
따라서 가능한 경계의 집합은 {5/3,2,3,5,7}이다. 각 행에서 남은 두 숫자의 위치를 바꾸면 두 배치가 생기며, t=3은 두 행에서 나와 배치가 네 개다. 같은 경계값이 목록에 두 번 나온다고 서로 다른 값으로 세지 않는다.
연속인 배치를 찾았어도 미분가능하지는 않다. 왼쪽 기울기는 a, 오른쪽은 c인데 숫자 중복 금지로 서로 다르다. 교사는 한 배치의 성공을 확인한 뒤 ‘가능한 경계가 모두 나왔는가’와 ‘매끈하게 이었는가’를 따로 묻는다. 존재 예시, 완전 분류, 미분가능성은 서로 다른 답이다.
출처·착안: Piecewise Continuity. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.