계수 a,b,c에 서로 다른 1부터 9까지의 숫자를 넣는다. ax²+bx+c=0의 두 근을 모두 순허수로 만들 수 있을까? ‘판별식이 음수인 배치를 찾으면 된다’는 계획부터 점검해 보자.
판별식이 음수이면 두 근은 실수가 아니지만, 그 실수부는 −b/(2a)다. 카드의 a,b는 모두 양수이므로 실수부가 0이 될 수 없다. 숫자 배치를 아무리 바꿔도 요구한 두 순허수근은 얻지 못한다.
교재는 a+bi에서 실수부가 0이고 허수부가 0이 아닌 수를 순허수라고 구분한다. 예를 들어 보통의 방정식 x²+2x+2=0은 근이 −1±i다. 실수가 아닌 것은 맞지만 순허수는 아니다. 이 예시는 위 카드 중복 금지 배치의 답이 아니라 두 용어의 차이를 보이는 별도 식이다.
일반 계수에서는 b=0일 때 x²=−c/a로 바뀌므로 c/a>0까지 있어야 한다. 0 카드를 허용하면 첫 장애는 없어지지만 나머지 부호 조건도 필요하다. 교사는 ‘실근이 없다’와 ‘실수부가 없다’를 같은 말로 쓰는 답을, 근의 공식을 두 부분으로 나누어 읽게 한다.
출처·착안: Quadratics and Number of Solutions. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.