잎 윤곽을 위·아래 두 함수로 맞춰 적분하면 넓이를 얻는다. 하지만 경계식에 작은 오차가 남아 있을 때 적분값 1/3을 실제 넓이의 정확한 값으로 써도 될까? 다음은 실제 잎 측정 자료를 대신해 만든 조건 예시다.
모델 넓이는 ∫₀¹{u−l}dx=∫₀¹2x(1−x)dx=1/3이다. 실제 경계 U,L은 연속이고 U≥L이라고 하자. 각 경계와 모델의 높이 차가 모든 입력에서 1/100 이하라는 정보도 주었다.
위 경계와 아래 경계가 반대 방향으로 틀릴 수 있으므로, 두 경계 차의 오차는 각각의 허용오차를 합한 1/50 이하이다. 같은 구간에서 적분하면 넓이의 차도 1/50 이하가 된다.
이 범위는 조건이 허용하는 모든 실제 넓이를 포함하는 보증이다. 양끝 넓이가 반드시 실현된다는 주장까지 증명한 것은 아니다. 특히 경계가 서로 교차하지 않는다는 조건도 유지해야 한다.
교사는 1/100을 그대로 넓이 오차라고 쓴 답에 경계가 몇 개인지 물어본다. 또 구간 길이를 1이 아닌 W로 바꾸면 같은 높이 오차에서 넓이 오차 상한은 W/50이다. 원문의 잎 적분 제안에 모델 정확도를 조건으로 덧붙인 문항이며, 원문이 이 실험을 수행해 특정 오차를 측정했다는 뜻은 아니다.
출처·착안: Find the area of a leaf through calculus. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.