반복 간격이 맞아도 시작 시각이 어긋나면 박자는 만나지 않는다

한 박자는 1/2초마다, 다른 박자는 2/5초마다 반복한다. 간격이 유리수이면 언젠가 반드시 함께 울릴까? 첫 박자는 0에서 시작하고 둘째는 δ초 뒤에 시작한다고 정한다.

동시에 울릴 조건에 10을 곱하면 5m−4n=10δ다. δ=1/20이면 오른쪽이 1/2인데 왼쪽은 정수다. 따라서 반복 간격의 공통배수를 구하더라도 두 박자가 동시에 울리는 시각은 없다. 간격만 본 답에서 빠진 정보는 시작 시각이다.

δ=1/10으로 시작을 바꾸면 5m−4n=1이다. m=n=1이 해이며 시각은 1/2초다. 식을 4로 나눈 나머지를 보면 m=1+4k, 이어 n=1+5k다. 두 수가 모두 음수가 아니려면 k≥0이어서 1/2초가 최초다.

원문은 서로 다른 속도의 반복 박자에서 동시 시점을 묻는다. 새 문항은 시작 시각을 일부러 어긋나게 하여, 간격의 공통 주기와 실제 동시 발생을 구별한다. 교사는 최초 시각을 찾은 답에도 m,n이 음수가 아닌 조건을 확인하게 한다. 각 시각의 목록은 등차수열이지만 두 수열의 시작항까지 읽어야 한다. 실제 연주 녹음의 시간 오차를 이 정확한 반복 모형에 포함한 것은 아니다.

출처·착안: Math in music. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.