두 파형에서 느린 진폭 계수의 크기가 똑같이 반복되면, 원래 파형도 같은 주기로 반복될까? 실제 측정 음량을 말하는 대신 다음 두 삼각함수 합만 비교한다. t의 단위는 초다.
합을 곱으로 바꾸면 s₁=2cos(2πt)cos(442πt), s₂=2cos(2πt)cos(440πt)다. 앞의 계수 크기 E(t)=2|cos(2πt)|는 둘에서 완전히 같다. 그러나 뒤의 빠른 진동까지 포함한 파형의 주기는 이 정보만으로 정해지지 않는다.
s₁에는 1/2초가 실제 주기다. 그보다 작은 양의 주기 T가 가능한지 보자. s₁(0)=2이므로 s₁(T)=2여야 한다. 코사인 두 값은 각각 1 이하라 둘 다 1이어야 하고, 220T와 222T가 정수다. 그 차 2T도 정수여서 T≥1/2다.
s₂에서는 1초가 실제 주기다. 같은 논리로 219T와 221T가 정수여야 한다. 차 2T를 얻은 뒤 219T−109·2T=T도 정수이므로 T≥1이다. 따라서 가장 작은 양의 주기는 서로 다르다.
교사는 E가 남긴 정보와 버린 정보를 묻는다. 느린 계수의 크기가 같다는 것은 전체 신호가 같다는 뜻이 아니다. 절댓값이 주기를 줄인다는 익숙한 확인에서 끝내지 않고, 같은 진폭 요약으로 구별할 수 없는 서로 다른 전체 파형을 구성한 질문이다.
출처·착안: Math in music. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.