두 기간의 보조 지표는 z1=1,z2=3이다. 나누어 배분할 총량은 8이고 x1,x2는 음이 아닌 실수다. 두 기간의 자료/지표 비 변화가 작도록 아래 값을 최소화하라. 4씩 균등 배분하는 방법과 비교한다.
x2=8−x1을 대입하면 J=(8/3−4×1/3)²이다. 제곱값은 0 이상이며 x1=2에서만 0이 된다. 따라서
4씩 나누면 J=64/9로 더 크다.
같게 유지하려는 것은 배분량 자체가 아니라 지표 대비 비다. 2/1과 6/3이 모두 2여서 각 기간의 지표 모양을 그대로 따르면서 총량도 맞춘다. 균등 배분은 총량 제약은 만족하지만 비의 차이를 최소화하는 목적에는 맞지 않는다.
BEA의 비례 Denton 설명에서 인접 시점의 자료/지표 비 차를 최소화한다는 목적과 총합 제약을 가져왔다. 여기서는 두 기간 하나의 제약만 남겼다. 여러 연간 제약과 경계 시점이 있는 실제 국민계정에서는 단순 비례배분만으로 전체 문제를 해결한다고 주장할 수 없다.
교사는 “합이 8”인 답만 채점하지 않고 무엇을 최소화하는지 목적식도 읽게 한다. 실제 통계 절차의 이름을 외우기보다, 제곱이 0이 되는 조건과 그 조건을 만족하는 해의 유일성을 확인한다.
착안: NIPA Handbook, Chapter 4: Estimating Methods (December 2023). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했다.