10 대 10에서 다음 한 점으로 끝내자는 제안은 A에게 유리할까? 여기서는 A와 B가 단식으로 경기하며 10 대 10에서 시작하는 자체 확률 모형만 다룬다. 모든 랠리 결과는 서로 독립이고, A가 자신의 서브에서 점수를 얻을 확률은 p, B의 서브에서 점수를 얻을 확률은 q로 일정하다. p와 q는 각각 0 이상 1 이하이며 합이 1이라고 가정하지 않는다. 첫 서브를 정한 뒤 매 점마다 서브를 번갈아 한다. 피로·이전 결과·서브 실수의 별도 과정·시간 제한은 넣지 않으며 각 랠리는 한쪽의 득점으로 끝난다.
| 비교할 종료 규칙 | 10 대 10 이후의 종료 조건 | 첫 서브 |
|---|---|---|
| M | 처음 두 점 차를 만든 쪽의 승리 | A 또는 B |
| Sₐ | 다음 한 점을 얻는 쪽의 승리 | A |
| Sᵦ | 다음 한 점을 얻는 쪽의 승리 | B |
모든 p,q에서 M의 승부가 끝나는지와 A의 승리 확률을 구하라. M과 Sₐ·Sᵦ 중 어느 규칙이 A에게 유리한지, 같은 확률이 되는 경계까지 분류하라. M에서 양쪽 승리 확률이 같은 조건도 구하라. 규칙 Sₐ·Sᵦ는 실제 탁구 규칙이라고 소개하지 않는 자체 비교안이다.
한 점씩 주고받으면 두 랠리 뒤에 다시 동점이고, 다음 서브도 처음과 같다. 두 점을 묶으면 서브 순서가 A→B든 B→A든 A의 두 연속 득점 확률은 pq, B의 두 연속 득점 확률은 (1−p)(1−q)다. 묶음의 종료 확률을 D라 놓자.
D=0인 경우는 (p,q)=(0,1),(1,0)뿐이다. 매번 서로 한 점씩 얻으므로 M은 끝나지 않고 어느 쪽의 승리 사건도 확률 0이다. 승자가 정해진다는 전제로 승률을 정규화할 수 없다. Sₐ·Sᵦ는 이 경우에도 한 점 뒤에 끝난다.
D>0이면 k개 묶음 뒤에도 끝나지 않을 확률은 (1−D)ᵏ로 0에 수렴하므로 M은 확률 1로 끝난다. A의 승리 확률 W는 첫 묶음에서 이기거나 동점으로 돌아와 그 뒤에 이기는 경우를 나누어 W=pq+(1−D)W를 만족한다.
M의 W는 첫 서브와 무관하다. 세 확률을 비교하려면 같은 양수 분모 D로 차를 계산한다.
D>0에서 M이 Sₐ보다 A에게 엄격히 유리할 조건은 0<p<1이고 q>1/2이다. M이 Sₐ보다 A에게 엄격히 불리할 조건은 0<p<1이고 q<1/2이다. p가 0 또는 1이거나 q=1/2이면 같다. Sᵦ와의 비교는 p,q를 바꾼 조건이다. M의 양쪽 승리 확률이 같을 조건은 pq=(1−p)(1−q), 즉 p+q=1이다. 끝나지 않는 두 모서리는 이 공정한 종료 사례에 포함하지 않는다.
자체 예로 p=4/5,q=1/5라 두면 M의 A 승률은 1/2다. 한 점으로 끝내면 첫 서브가 A일 때 4/5, B일 때 1/5다. 같은 p=4/5라도 q=3/5이면 M의 승률은 6/7로 4/5보다 높다. “서브에서 잘한다”는 한 정보만으로 어느 종료 규칙이 유리한지 정할 수 없다.
교사는 p와 비교하는 식의 부호를 q가 정하고, q와 비교하는 식의 부호를 p가 정한다는 점을 표에 표시하게 한다. 오래 경기한다는 이유만으로 약한 쪽이 유리하다고 설명하지 않는다. 두 점 차 규칙에서는 첫 서브의 영향이 없어져도 다음 한 점으로 끝내는 규칙에서는 첫 서브를 정하는 선택이 결과에 남는다.
착안: ITTF Statutes 2026, 43–44쪽, 2.11.1·2.13.3. 10 대 10 뒤 두 점 차로 끝내고 서브를 한 점씩 교대한다는 두 규칙만 착안했다. p,q와 한 점 종료 비교안·확률 계산은 자체 교육용 모형이며 실제 선수의 성적, 대회 실측 승률 또는 경기 운영의 효과를 보고한 것이 아니다.