아랫공에 부딪힌 윗공, 꼭 위로 튀어 오를까?

바닥에서 튀어 오른 아랫공이 내려오는 윗공에 부딪히면, 윗공도 꼭 위로 튈까? 충돌로 위쪽 속도가 더해졌다는 말과 실제로 위로 움직인다는 말은 다르다. 여기서는 실제 실험 대신 두 대표점의 운동과 순간 충돌 규칙을 정해 그 차이를 살펴본다.

아랫공의 바닥 반사 직후를 t=0으로 놓는다. 아래 대표점은 높이 0에서 위쪽 속도 ev, 위 대표점은 높이 d에서 아래쪽 속도 −v로 시작한다. v,g,d>0이고 0<e≤1이다. 둘 다 중력가속도가 −g이며 공기저항은 없다. 아랫점 질량 M과 윗점 질량 m은 양수이고 ρ=m/M로 놓는다. 공의 반지름, 변형, 접촉에 걸리는 시간은 현재 모형에 넣지 않는다.

아랫점이 다시 바닥에 닿기 전에는 두 높이가 다음 이차함수다.

\begin{gathered} y_B(t)=ev t-\frac g2t^2,\\ y_T(t)=d-vt-\frac g2t^2. \end{gathered}

두 식의 차에서 중력항이 지워져, 두 점 사이 충돌 후보 시각은 t*=d/((e+1)v)다. 식의 해가 있다고 그때까지 같은 자유 비행을 유지하는 것은 아니다. 아랫점의 바닥 재도달 시각 T_B=2ev/g와 먼저 비교해야 한다.

\begin{gathered} 0<t_*<T_B\\ \iff 0<d<D,\qquad D=\frac{2e(e+1)v^2}{g}. \end{gathered}

이 부등식 아래에서 충돌 높이는 양수다. 만나기 전까지 윗점이 아랫점보다 높으므로 윗점의 바닥 도달이 앞서지도 않는다. d=D에서는 두 점이 바닥에 동시에 닿는다. d>D에서는 아랫점의 새 바닥 사건부터 생긴다. 그 뒤의 운동을 새로 정하지 않고 기존 식만 계속 쓰면 다른 문제를 풀게 된다.

이제 0<d<D를 만족하는 두 점 사이 첫 충돌만 다룬다. 직전 속도는 u_B=ev−gt*, u_T=−v−gt*다. 직후 속도 w_B,w_T에 아래 두 조건을 정한다. 첫 조건은 질량×속도의 합인 운동량 보존이고, 둘째는 두 점이 벌어지는 상대 빠르기를 만날 때의 상대 빠르기와 같게 정한 것이다.

\begin{gathered} w_B+\rho w_T=u_B+\rho u_T,\\ w_T-w_B=u_B-u_T=(e+1)v. \end{gathered}

원전은 충돌 전후의 상대 속도 비로 반발계수를 설명한다. 여기서는 바닥에서 얻는 속도비 e와 공 사이의 두 번째 조건을 따로 두었다. 한 계수가 모든 접촉의 실제 성질을 대표한다고 가정하지 않는다.

이 일차 연립방정식에서 w_B를 없애면 윗점의 직후 속도를 구할 수 있다. 질량비에 따른 계수를 k로 묶자.

\begin{gathered} k=\frac{2e+1-\rho}{1+\rho},\\ w_T=kv-\frac{gd}{(e+1)v},\\ w_T-u_T=\frac{2(e+1)v}{1+\rho}>0. \end{gathered}

마지막 줄은 항상 위쪽으로 속도 변화가 생긴다는 뜻이다. 그러나 그 전의 아래쪽 속도가 충분히 크면 w_T는 여전히 음수다. 속도가 증가했다는 답에서 곧바로 ‘위로 튄다’고 결론 내릴 수 없다.

k≤0인 질량비 ρ≥2e+1에서는 모든 허용 간격에서 w_T<0이다. k>0일 때에는 w_T=0을 만드는 간격 D_↑=k(e+1)v²/g를 생각할 수 있다. 이 경계가 실제로 허용한 간격 안에 있는지는 D와 비교해 확인한다. D_↑≥D는 k≥2e와 같고, 정리하면 ρ≤1/(2e+1)이다.

질량비 조건	허용 간격에서 윗점의 방향
0<ρ≤1/(2e+1)	모든 0<d<D에서 위로 출발한다.
1/(2e+1)<ρ<2e+1	d<D_↑이면 위쪽, d=D_↑이면 순간 속도 0, D_↑<d<D이면 아래쪽이다.
ρ≥2e+1	모든 0<d<D에서 아래로 움직인다.

가운데 질량 구간에서만 방향을 가르는 간격이 자유 비행 안에 남는다. 첫 구간의 경계에서는 D_↑=D지만, d=D는 두 점과 바닥이 동시에 만나는 별도 사건이어서 제외했다. 마지막 구간의 경계에서는 k=0이고 양의 d가 남아 속도는 엄격히 음수다. 속도 0인 순간을 양의 시간 동안 위로 움직인 경우에 넣지도 않는다.

자체 단위로 e=v=g=ρ=1을 놓아 보자. 이때 D=4, D_↑=2다. 실제 공의 질량이나 측정값이 아니라 계산을 비교하는 값이다.

처음 간격 d	충돌 높이와 윗점의 직후 속도
1	높이 3/8, 속도 1/2로 위쪽이다.
2	높이 1/2, 순간 속도 0이다.
3	높이 3/8, 속도 −1/2로 아래쪽이다.

첫째와 셋째는 같은 질량비로 같은 높이에서 부딪힌다. 그래도 결과의 방향은 다르다. 늦게 만나는 셋째에서는 중력으로 쌓인 아래쪽 속도가 더 크기 때문이다. 반대로 아주 작은 윗점 질량비에서는 바닥 재도달 전에 만나는 모든 간격에서 위로 출발한다. 한 사례의 방향을 다른 모든 질량과 간격으로 넓힐 수 없다.

교사는 계산에 표시를 두 번 남기게 한다. 먼저 공 사이 충돌이 현재 비행 구간에서 일어나는지, 그다음 직후 속도가 실제로 양수인지 확인한다. 제공 교재의 이차함수와 일차 연립방정식은 이 계산의 언어다. 동일 중력항 소거, 알려진 운동량 식, 속도 증가와 방향의 일반 구별 자체는 새 발견으로 세지 않는다. 여기서는 간격과 질량비를 함께 움직여 항상·일부·없음의 전체 범위와 두 경계 사건을 분류했다.

착안: NUI Galway, Stokes Modelling Workshop 2014: Bouncing Balls의 PDF 1·3·4·5·12쪽 텍스트와 3·4·5쪽 전체 이미지를 읽었다. 원전은 실제 겹쳐 놓은 두 공에 순차 충돌 근사를 적용한 첫 시도의 한계를 적는다. 이 글은 그 실험을 재현하거나 근사가 맞다고 되살리는 설명이 아니다. 분리된 점 대표·초기 간격·첫 사건의 규칙을 새로 정한 교육용 모형이며, 원전의 공 사진·고속 영상·계산 출력·스프링 모형은 옮기지 않았다. 이후의 재충돌이나 실제 안전한 실험 절차도 검증하지 않았다.