여섯 곳에 구멍을 내야 한다. 두 구멍 펀치니까 세 번이면 될까? 두 개씩 만든다는 계산만으로는 부족하다. 펀치의 간격이 목표점의 간격과 맞아야 하고, 어떤 구멍은 다시 눌러야 나머지까지 만들 수 있다.
다음은 실제 제품 사용법 대신 종이 위 점으로 정한 모형이다. 구멍의 넓이는 없고 중심 위치만 본다. 목표 S는 서로 다른 실수로 표시한 유한하고 비어 있지 않은 위치 집합이다. 간격 a>0가 고정된 펀치를 방향은 바꾸지 않고 직선 위에서 옮긴다. 한 번 누르면 x와 x+a를 만든다. 둘 다 목표 안이어야 하며, 목표 밖에는 구멍을 낼 수 없다. 이미 뚫린 곳을 다시 누르는 것은 이 모형에서 허용한다. 실제 종이 찢어짐·구멍의 크기·장치 이동 범위나 가공 안전은 다루지 않는다.
자체 길이 단위 a=1에서 목표를 다음과 같이 놓자. 실제 제품의 눈금이나 측정값이 아니다.
0을 만들려면 (0,1)을 눌러야 하고, 2를 만들려면 (1,2)를 눌러야 한다. 오른쪽 세 점도 같은 방식이다. 가운데 1과11은 두 번 포함된다. 여섯 목표점인데도 네 번이 필요하다. 이번에는 왜 세 번이 안 되는지와 모든 목표의 답을 함께 찾자.
간격이 정확히 a인 두 목표를 연결한다. 한 점은 왼쪽 x−a와 오른쪽 x+a 두 후보에만 연결된다. 유한한 목표에는 끝이 있으므로 각 연결 성분은 빠짐없이 이어진 한 줄이다. 여기서 성분은 같은 간격의 연결을 따라 서로 오갈 수 있는 점들의 묶음이다. 전체를 정렬한 뒤 바로 옆 점만 검사해서는 안 된다. a=1인0,1/2,1,3/2에서는 0과1, 1/2과3/2가 각각 다른 줄이고 둘의 위치는 서로 끼어든다.
혼자 남은 점이 있다면 그 점과 함께 누를 목표가 없어 불가능하다. 반대로 모든 줄에 점이 두 개 이상이면 인접쌍을 눌러 전부 만들 수 있다. 고립점 없음이 이 직선 모형에서는 필요할 뿐 아니라 충분하다. 일반 그래프나 실제 종이 배치에서도 이 조건 하나면 된다는 말은 아니다.
점이 k개인 줄을 왼쪽부터1,…,k라 쓰자. 한 번에 두 점뿐이어서 최소 ⌈k/2⌉번은 필요하다. 짝수2m개면 (1,2),(3,4),…로 m번을 얻는다. 최소계획의 총접촉2m개가 점2m개를 덮으므로 어느 점도 두 번 포함할 수 없다. 첫 점이 첫쌍을 강제하고 같은 논리를 오른쪽으로 반복하면 최소계획은 하나뿐이다.
홀수2m+1개면 m+1번이 필요하다. 이 최소계획은 모두2m+2번의 점접촉을 만든다. 목표는2m+1개라 정확히 한 점만 두 번이고 다른 점은 한 번이다. 두 번 점 j의 좌우쌍을 모두 눌러야 한다. 그 세 점 바깥의 왼쪽j−2개와 오른쪽2m−j개는 각각 중복 없이 짝지어져야 하므로 j는 짝수다. 가능한 위치는2,4,…,2m의 m곳이다. 어느 한 곳을 골라도 나머지는 양끝부터 짝이 강제되므로 계획은 하나씩 나온다.
다른 줄을 가로지르는 누름은 없다. 따라서 줄마다 최소누름을 더하고, 줄마다 최소계획 하나를 고르는 가짓수는 곱한다. 계획은 누름 위치들의 집합이다. 순서만 바꾼 것을 새 계획으로 세지 않는다. k₁,…,kᵣ이 모든 줄의 점 수이고 전부2 이상이면,
홀수 줄이 없으면 곱은1이다. 혼자 남은 점이 있는 경우에는 이 식을 적용하기 전에 불가능으로 분리한다.
다섯 목표0,1,2,3,4의 최소는 세 번이다. 모든 최소계획은 (0,1),(1,2),(3,4)와 (0,1),(2,3),(3,4) 두 개다. 중복점은1 또는3이다. 여섯 목표0,1,2,10,11,12는 점3개짜리 줄이 두 개라 최소4번, 계획은1×1=1개다. 반면0,1,2,4는 목표가 짝수 네 개여도4가 혼자여서 불가능하다.
교사는 목표 수를 둘로 나눈 답 옆에, 실제 누를 두 점들의 목록을 적게 한다. ‘모두 한 번씩’과 ‘모두 적어도 한 번씩’은 다르다. 홀수 줄에서는 다시 눌리는 점이 낭비가 아니라 나머지를 가능하게 하는 조건이다. 단순한 짝짓기 정리나 홀짝 경고, 곱의 법칙 자체를 새 발견으로 소개하지 않는다. 여기서는 모든 목표 위치의 가능성·최소누름·모든 최소계획을 함께 분류했다.
착안: CARL, 2穴パンチ SD-W50 공식 한쪽 안내, 2018년6월 표기. 일정 간격의 두 구멍을 한꺼번에 내는 사물 관점만 사용했다. 원문 제품 사진·치수·매수·가격은 옮기지 않았다. 점/간격 규칙·목표·중복 허용·일반 판정과 예시는 자체 교육용이며 실제 제품의 성능이나 권장 사용법이 아니다.