원 위 서로 다른 네 점이 있다. 원의 중심을 지나는 직선으로 나눈 두 반원 중 하나에는 항상 세 점 이상이 들어갈까? 반원의 양 끝점을 포함하는 경우와 제외하는 경우를 나누어 판단하라.
네 점 중 한 점을 지나는 지름을 긋는다. 나머지 세 점을 두 닫힌 반원에 넣으면 한쪽에는 적어도 두 점이 들어간다. 지름 위의 처음 점도 그 반원에 포함되므로 세 점이 확보된다. 반대 끝에도 점이 있다면 그 점이 양쪽에 속해도 같은 논증은 성립한다.
하지만 열린 반원에서는 지름 위 점을 추가할 수 없다. 표시한 네 축점 중 세 점을 포함하려면 서로 마주 보는 점 한 쌍이 반드시 들어간다. 열린 반원에는 서로 마주 보는 두 점이 함께 들어갈 수 없다. 따라서 이 배치의 열린 반원에는 많아야 두 점뿐이다.
교사는 그림을 그린 뒤 “경계 위 점도 센다”는 문장을 지워 보게 한다. 점의 개수나 원의 크기를 바꾸지 않아도 증명의 마지막 덧셈이 사라진다. 포함 관계의 약속이 실제 논증 어느 줄에서 쓰였는지 확인하는 질문이다.
착안 원문: Pigeonhole Principle. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.