세 위치에 1,2,3 카드를 놓았다. 한 번의 조작은 세 카드를 모두 한 칸씩 오른쪽 또는 왼쪽으로 순환 이동시키는 것뿐이다. 조작을 몇 번이든 반복해 2,1,3 배열을 만들 수 있을까?
오른쪽으로 돌리면 표시한 세 배열을 순환하고 왼쪽은 그 역순을 따른다. 시작점에서 한 번도 이 집합 밖으로 나갈 수 없다. 목표 213은 목록에 없다. 횟수를 크게 늘려도 허용 조작이 새 배열을 만드는 것은 아니다.
목록을 넘어 규칙의 이유도 살펴볼 수 있다. 세 위치의 순환 이동은 두 번의 맞교환으로 표현된다. 순열의 홀짝은 맞교환 한 번마다 바뀌므로 두 번에서는 유지된다. 목표는 1과 2만 한 번 맞바꾼 배열이라 시작과 홀짝이 다르다.
현재 세 장 문제에서는 완전한 목록이 이미 증명이다. 카드가 더 많고 매번 어느 세 위치든 순환할 수 있는 규칙에서도 이 홀짝 장애는 남는다. 다만 홀짝이 같다는 조건만으로 모든 목표에 도달한다는 새 충분성 주장은 여기서 하지 않는다.
교사는 조작 한 번에 움직이는 카드 수와 맞교환 횟수를 같은 수로 적은 답을 구별한다. 세 장이 움직였다는 사실만으로 홀짝이 한 번 바뀌는 것은 아니다. 조작을 두 맞교환으로 실제 분해하게 하면 무엇이 보존되는지 확인할 수 있다.
착안 원문: NZMO 2025 Round 1, Problem 5. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.