.jpg){kind=link}
구 x²+y²+z²=9 위에서 서로 다른 세 점을 고른다. 세 점이 항상 평면 하나를 정하는지 판단하라. 일반적인 공간의 서로 다른 세 점이라는 조건과 비교한다.
일반 세 점은 한 직선 위에 있을 수 있어 평면을 하나로 정하지 못한다. 그러나 구 위 서로 다른 세 점은 한 직선 위에 있을 수 없다. 한 직선을 P+t v(v≠0)로 쓰고 구의 식에 대입하면 t에 관한 이차방정식이 된다. t²의 계수|v|²>0이므로 실수 교점은 많아야 두 개다.
따라서 구 위 세 점은 한 직선 위에 있지 않고 평면을 하나로 정한다. ‘서로 다른’만 쓴 것이 아니라 같은 구 위라는 조건이 빠져 있던 관계를 보장했다.
예를 들어 A=(3,0,0), B=(0,3,0), C=(0,0,3)은 평면 x+y+z=3 위에 있다. 세 좌표를 직접 넣어 평면을 확인할 수 있다. 반지름3인 구 위에 있다는 검산도 세 점에서 모두9로 맞는다.
다만 이 세 점을 지나는 구까지 하나라는 뜻은 아니다. 중심(s,s,s), 반지름의 제곱3(s−1)²+6인 구들은 모두 이 세 점을 지난다. s=0이면 원래 구, s=1이면 다른 구다. 평면의 유일성과 구의 유일성은 다른 물음이다.
교사는 ‘세 점이면 하나’라는 짧은 설명에 대상과 조건을 적는다. 일반 세 점인지 구 위 세 점인지, 정하는 대상이 평면인지 구인지 확인해야 한다.
구의 반지름이0인 한 점 집합에서는 서로 다른 세 점을 고를 수 없으므로 현재 전제가 성립하지 않는다. 이번 구는 반지름3으로 세 점의 존재와 직선 교점 제한을 모두 사용할 수 있다.
출처·착안: コペルくんwithアヤ先生, 「３点を通る円はただ１つに決まる？ 垂直二等分線の不思議」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.