네 거리의 제곱값을 알려줘도 어느 꼭짓점까지인지 빠지면

점 $P=(x,y)$에서 네 꼭짓점까지의 거리의 제곱이 $1,5,9,13$이다. 어느 값이 어느 꼭짓점까지의 거리인지 순서는 알려주지 않았다. 가능한 $P$를 모두 구하라.

네 값을 하나씩 배정하기 전에 합을 본다

네 거리의 제곱을 더하면 일차항이 지워진다.

따라서 네 값은 $7\pm2x\pm2y$이며 두 부호를 각각 택한 네 경우가 모두 들어 있다. 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차는 $4(|x|+|y|)$이므로

$u=|x|,\ v=|y|$로 놓으면 $u+v=3,\ uv=2$다. $u(3-u)=2$를 인수분해하면 $u=1$ 또는 $2$이므로 두 크기는 $1,2$다.

답은 아래 여덟 점이며 각 부호는 독립적으로 택한다.

좌표가 음수인 경우도 버리지 않는다. 거리의 제곱은 좌표의 부호를 직접 알려 주지 않으므로, 두 크기를 찾은 다음 각 부호를 따로 선택해야 한다.

각 점을 네 거리의 식에 대입하면 값 목록이 $1,5,9,13$으로 돌아온다. 합 조건만 만족하는 원 위의 모든 점을 답으로 삼아서는 안 된다. 가장 큰 값과 작은 값의 조건까지 썼는지 확인한다.

값과 꼭짓점의 대응을 한 줄 더 준다면

$PA^2=1,\ PB^2=5,\ PC^2=13,\ PD^2=9$라고 지정하면 차를 이용해 $4x=4,\ 4y=8$을 얻어 $P=(1,2)$만 남는다. 같은 숫자 목록이라도 대응 정보를 붙이면 답의 개수가 달라진다. 학생이 처음부터 네 값을 이 순서로 배정했다면 그 계산은 한 사례를 찾은 것이며, 나머지 가능성을 없앤 증명은 아니다. 답안에는 가능한 점의 목록과 모든 경우를 포함한다는 이유를 함께 받는다.

교사용으로 새로 구성한 문항입니다. 참고: Sarah Carter, 「Shape Grid Puzzle」.