문제1은(0,0)에서(2,2)까지 직선 거리, 문제2는(0,0)→(1,1)→(2,0)로 이동한 총거리다. 같은 길이 단위를 쓴다. 답만 적힌 두 카드에는 √8과2√2가 각각 있다.
한 문제에 답 카드가 두 장 대응한다며 학생에게 다시 계산하라고 할 수 있는가?
두 카드의 수가 정확히 같으므로 두 문제 모두 두 답 카드에 대응한다. 소수로 반올림해서 우연히 같아진 것이 아니라 √8=2√2라는 정확한 등식이다. 학생 계산에는 오류가 없다.
같은 답과 서로 다른 문제
두 문제의 이동 경로는 다르다. 첫 문제는 대각선 한 선분, 둘째는 꺾인 두 선분이다. 이 예에서 총길이가 같다고 두 경로 자체가 같아진 것은 아니다. 답 카드만으로 다음 문제를 하나씩 정하는 규칙에는 같은 답이 두 번 나타난다는 문제가 생긴다.
답 카드에 문제 번호를 함께 쓰거나, 답을 찾는 데서 끝내지 않고 어느 조건으로 계산했는지 설명하도록 규칙을 바꿀 수 있다. 문항을 수정하려면 둘째의 마지막 점을(3,1)로 바꾸어 총거리√2+2가 되게 하는 방법도 있다. 그 값은2√2와 정확히 다르다.
교사는 카드가 하나씩 줄어드는 형식 자체를 수학 검산의 보장으로 보지 않는다. 모든 정답을 간단한 정확한 값으로 정리한 뒤 서로 같은 값이 있는지도 비교해야 한다. 근호 표현이 달라도 같은 수일 수 있어 겉모양만으로 답 카드의 유일성을 확인하면 안 된다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Operations with Radicals Question Stack Activity」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.