세 번 고르면 서로 다른 색도 평균 세 개일까

빨강·파랑·노랑·초록 중 하나를 각1/4의 확률로 고르는 선택을 독립적으로 세 번 한다. 서로 다른 색의 수를 X라 하자.

이라는 답을 검토하라. 선택 횟수와 나온 색의 종류 수는 다르다.

순서 있는 결과는4³=64개로 균등하다. 한 색만 나온 결과는4개다. 두 색이 나온 결과는 두 색을 고르는6가지마다2³−2=6개라36개다. 세 색이 나온 결과는 세 색을 고르는4가지마다3!=6개라24개다.

따라서 평균은(1+18+18)/16=37/16이다. 세 번의 선택에서 중복 색이 나올 수 있어 평균이3보다 작다.

평균과 한 번의 결과

37/16은 약2.3125로 종류 수의 가능한 값1,2,3중 어느 것도 아니다. 이것은 평균 계산의 오류가 아니다. 같은 세 번 선택 실험을 반복할 때 종류 수의 평균을 설명하는 수다.

두 색 결과를 세면서6×2³=48이라고 쓰면 한 색만 나온 결과를 포함한다. 고른 두 색을 모두 실제로 사용해야 하므로 AAA와BBB두 결과를 각각 제외했다. 종류를 고르는 과정과 고른 종류가 모두 나오는 조건을 따로 적는다.

교사는 ‘세 번 했으니3’이라는 답과 평균이 정수여야 한다는 답을 다른 오답으로 확인한다. 먼저 X가 무엇을 세는지 한 결과에서 직접 기록하게 한 뒤 분포의 합1과 평균의 범위1≤E(X)≤3을 검산하게 한다. 선택 횟수를 세는 확률변수라면 늘3이지만 여기의 X는 그 변수가 아니다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#18: What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.