두 타원이 같은 초점 F₁=(−1,0),F₂=(1,0)을 갖는다. 첫 타원은 PF₁+PF₂=4, 둘째는 PF₁+PF₂=6으로 정의한다. 두 타원이 교차하는 점을 구하라.
공통점 P가 있다면 같은 두 거리의 합이4이면서6이어야 한다. 불가능하므로 공통점은 없다.
두 식을 연립하기 전에 정의의 합 조건으로 결론을 얻었다.
초점 두 개와 합의 상수
같은 초점을 썼다는 말은 같은 타원이라는 뜻이 아니다. 두 타원 모두 초점 간 반거리1이지만 장축의 반길이는2와3이다. 합의 상수가 곡선의 크기를 추가로 정한다.
반대로 초점이 같은 두 타원이 공통점 하나를 가지면 그 점의 두 거리 합이 두 상수와 같아진다. 따라서 상수도 같고 정의하는 점 집합도 같다. 초점이 같은 조건 아래에서는 서로 다른 타원이 한 점에서만 만나는 일도 없다.
일반적인 서로 다른 두 타원까지 이 결론을 확대하지 않는다. 초점이 다른 타원은 교차할 수 있다. 이 문항의 빠른 풀이에는 ‘같은 두 초점’이라는 조건이 반드시 필요하다.
학생이 두 식을 빼서 고차 계산을 시작하면 공통점에서 반드시 같은 수여야 하는 조건을 먼저 표시하게 한다. 좌표 방정식과 두 초점 거리의 합이라는 정의 중 무엇이 이번 질문에 더 직접적인지도 비교할 수 있다. 서로 같은 모양을 그렸다는 눈대중과 같은 초점을 실제로 지정했다는 정보를 구별한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.