다음 두 식을 비교한다.
분모가 같으므로 두 타원의 초점도(±√5,0)로 같다는 주장을 검토하라.
E₂를 양변4로 나누면 x²/36+y²/16=1이다. 장축의 반길이는6, 단축의 반길이는4이며 초점 간 반거리의 제곱은36−16=20이다. 초점은(±2√5,0)다.
먼저 표준형의 오른쪽을 확인한다
분모9와4를 장축·단축의 반길이 제곱으로 읽는 것은 오른쪽이1일 때다. 오른쪽이4인 상태에서 분모만 읽으면 눈에 보이는 수를 의미와 바로 연결한 오류가 생긴다.
E₂는 E₁의 점 좌표를 원점에서 두 배로 늘린 타원이다. 실제 E₁의(3,0),(0,2)는 E₂의(6,0),(0,4)로 바뀐다. 길이가 두 배이므로 거리 합도6에서12로 변한다. 초점이 그대로라면 이 정의와도 맞지 않는다.
식의 두 제곱항 부호가 같다는 이유로 원이라고 할 수는 없다. 양변을 정리한 뒤 두 분모36과16이 다르므로 타원이다. 분류하는 판단과 초점 좌표를 구하는 판단에는 서로 다른 정보를 사용한다.
교사는 표준형으로 바꾸는 줄을 생략하지 않게 한다. 같은 식을 다르게 쓴 것인지 곡선 자체가 커진 것인지 점 하나를 직접 대입하여 구별할 수 있다. 초점 공식의 숫자에 앞서 그 숫자가 어느 표준형에서 나온 값인지 표시하게 하는 문항이다.
오른쪽 상수를 바꾸는 것은 같은 곡선의 표기만 바꾼 일이 아니다. 실제 점을 대입하여 어느 식을 만족하는지 확인하면 초점 계산 전에 변화가 드러난다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.