각 집단이 정규분포면 둘 중 하나를 뽑는 전체도 정규일까

상자 A에서는 N(−1,1), B에서는 N(1,1)을 따르는 값을 얻는다. 상자를 동등한 확률로 한 번 고르고 그 상자에서 값 T를 하나 얻는다. 전체 T도 정규분포라는 설명을 검토하라.

두 조건의 평균을 같은 비중으로 더하면 E(T)=0이다. 각 조건에서 E(T²)=1+1=2이므로 전체 분산은2다. 정규분포라면 N(0,2)여야 한다.

A에서는 표준화한 구간이0≤Z≤2, B에서는−2≤Z≤0이라 두 확률이 모두0.4772다.

한 값을 선택하는 것과 두 값을 더하는 것

반면 N(0,2)에서 |T|≤1의 확률은 P(|Z|≤1/√2)≈0.5205다. 같은 평균과 분산이어도 구간 확률이 달라 T는 이 정규분포가 아니다. 두 집단의 정규성만으로 전체 정규성을 얻지 못한다.

각 상자에서 서로 독립적으로 U,V를 하나씩 얻어 평균 S=(U+V)/2를 만드는 절차는 다르다. U+1과V−1은 독립인 N(0,1) 두 값이어서 S는 N(0,1/2)다. 선택 절차와 두 값을 평균하는 절차를 같은 그림으로 보지 않는다.

교사는 상자를 하나 선택하는 단계가 있는지 두 값을 모두 얻는지 표시하게 한다. 집단마다 그림이 종 모양이라는 사실과 전체의 분포가 같은 모양이라는 사실은 다르다. 평균0·분산2를 맞게 구한 줄을 유지한 뒤 한 구간 확률로 정규 주장을 확인할 수 있다.

0.4772와0.5205는 표·계산의 근삿값이지만 차이가 커 반올림으로 같은 값이 되지 않는다. 정규라고 가정한 뒤 그 가정에 필요한 조건을 다시 확인하는 문항이다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#36: Nearly normal」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.