삼각형 높이의 절반 아래에 고르면 확률도 1/2일까

A=(0,0),B=(4,0),C=(0,4)의 삼각형 안에서 점P=(X,Y)를 넓이에 비례하여 균등하게 고른다. 경계도 허용한다.

높이0부터4의 절반이므로 확률1/2라는 답을 검토한다.

전체 삼각형 넓이는8이다. y>2부분은(0,2),(2,2),(0,4)의 삼각형으로 넓이2다. 따라서

세로 좌표의 범위 길이로 나누는 계산은 맞지 않는다.

위쪽과 아래쪽의 가로 폭

y가 작을 때 점을 놓을 수 있는 가로 구간은 길고, y가 클 때는 짧다. 같은 높이 길이를 가진 두 부분이라도 넓이가 다르므로 점이 선택되는 확률도 다르다.

아래 절반은 사다리꼴이고 위 절반은 작은 삼각형이다. y≤2부분을 밑변4·높이2인 직사각형 넓이8로 계산하지 않는다. 삼각형의 경계x+y≤4를 끝까지 유지해야 한다.

일반적으로0≤t≤4이면 위쪽 삼각형의 두 수직 변은4−t다. 따라서 P(Y≤t)=1−(4−t)²/16이다. t=0,2,4를 넣으면0,3/4,1이 되어 끝점과 앞 계산을 확인한다.

교사는 ‘점을 균등하게 고른다’의 기준을 넓이라고 명시한다. Y를0부터4에서 먼저 균등하게 고르고 X를 남은 가로 구간에서 고르는 다른 절차와 혼동하지 않는다. 높이 구간을 분할한 그림에 각 넓이를 적게 하면 균등한 점 선택과 균등한 높이 선택이 다른 이유를 볼 수 있다.

높이 t가 바뀔 때 남는 작은 삼각형의 변 길이가 두 방향에서 함께 바뀐다. 길이가 절반인 작은 삼각형의 넓이는 전체의1/4이라는 점을 그림에서 확인한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「The Geometry of Tangrams」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.