쌍곡선 x²−y²=1에 서로 수직인 두 접선을 그을 수 있는지 판단하라. 점근선 y=±x을 접선 두 개로 고르면 안 된다.
쌍곡선 위 점 P=(a,b)에서 b≠0일 때 접선은 ax−by=1이다. 기울기는 a/b이고 a²−b²=1이므로
세로선이 아닌 두 접선의 기울기 절댓값은 모두1보다 크다. 따라서 그 곱의 절댓값도1보다 커서 곱이−1인 수직 조건을 만족할 수 없다.
b=0인 접점도 확인한다. P=(±1,0)의 접선은 x=±1인 세로선이다. 여기에 수직인 직선은 가로선이어야 한다. 그러나 앞의 기울기 조건상 기울기0인 접선은 없다. 결론은 서로 수직인 두 접선이 존재하지 않는다는 것이다.
점근선 둘은 실제로 서로 수직이다. 하지만 y=x를 쌍곡선에 대입하면0=1이 되어 교점조차 없다. 점근선의 방향을 접선의 방향과 구별해야 한다. 접선의 기울기가1에 가까워질 수 있다는 말도 기울기1인 접선이 있다는 말과 다르다.
교사는 기울기 곱만 검사한 답안에서 두 직선이 먼저 접선인지 확인한다. 이름과 방향이 익숙하다는 이유로 점근선을 후보에 넣으면 수직이라는 계산은 맞아도 문제 조건은 만족하지 않는다.
반대로 쌍곡선은 늘 이런 성질을 갖는다고 일반화하지 않는다. x²/9−y²/4=1에는 y=±x+√5라는 수직인 두 접선이 있다. 분모가 바뀐 다른 곡선은 같은 결론을 보장하지 않는다.
불가능을 보일 때 그림 한 장만으로는 부족하다. 모든 유한 기울기와 세로선 두 경우를 나누면 접선 전체를 다룬 증명이 된다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.