X의 확률밀도함수가 위와 같을 때 P(X≤c)=1/2를 만족하는 실수 c를 모두 구하라. 답을 한 점으로 적은 풀이가 맞는지도 판단하라.
폭 1, 높이 1/2인 두 직사각형의 넓이 합은 1이다. 함숫값도 음수가 아니므로 주어진 함수는 확률밀도함수의 조건을 만족한다. 두 구간 사이에서 높이가 0이라는 사실을 먼저 표시한다.
0≤c<1에서는 왼쪽 넓이가 c/2이고, 1≤c≤2에서는 첫 직사각형의 넓이 1/2 그대로다. 2<c≤3에서는
가 되어 1/2보다 크다. c<0이면 확률은 0, c>3이면 확률은 1이다. 따라서 정답은 한 점이 아니라 닫힌 구간 [1,2] 전체다.
c=3/2만 적은 답안을 어떻게 고칠까
그 값은 정답 중 하나지만 전부는 아니다. c=1, 5/4, 2를 각각 넣어도 왼쪽 확률은 같다. 높이가 0인 구간을 지나갈 때 색칠한 넓이가 늘지 않는다는 그림이 빠졌는지 확인한다. 정규분포에서 익숙한 가운데 한 점의 그림을 모든 확률밀도함수에 적용한 것은 아닌지도 묻는다.
끝점 1과 2는 둘 다 포함한다. 연속확률변수에서 한 점에 해당하는 확률은 0이므로 <와 ≤를 바꿔도 이 문항의 확률은 변하지 않는다. 다만 정답 집합을 열린 구간으로 적으면 실제로 식을 만족하는 두 끝점을 누락한다.
문항에 ‘확률을 반으로 나누는 점’을 단수로 적기 전에 유일한지 검산할 필요가 있다. 확률밀도함수의 조건은 f(x)≥0이지 모든 곳에서 양수라는 조건은 아니다. 이 예에서는 확률이 0인 구간이 있어서 서로 다른 c가 같은 확률을 만든다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#36 Nearly normal」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.