공정한 동전을 독립적으로 두 번 던진다. HH,HT,TH를 각각 A,B,C로 정하고 TT이면 한 번 더 같은 두 번의 묶음을 시도한다. 두 번째에도 TT이면 선택 없이 종료한다. A,B,C가 각각1/3 확률이라는 설명을 검토하라.
첫 묶음에서 그 선택이 나올 확률1/4와 첫 묶음TT 뒤 둘째에서 나올 확률1/16을 더했다. 선택 없이 끝날 확률은1/16이다. 네 시행은 모두 서로 독립이다.
선택이 완료됐다는 조건 아래에서는 A,B,C가 각각1/3이다. 완료 확률15/16로 나누면(5/16)/(15/16)=1/3이기 때문이다. 전체 시행의 확률과 완료된 기록 중 비율은 다르다.
두 번째 TT도 A로 정해 반드시 선택하게 하면 A는6/16, B,C는5/16이다. 세 가지를 같은 확률로 만드는 규칙이 아니다. 남은 경우를 한 대안에 몰아주면 종료 조건은 해결되지만 확률 조건이 달라진다.
유한한 k번의 공정한 독립 동전 기록2ᵏ개를 항상 A,B,C 중 하나로 배정한다면 각각1/3은 불가능하다. 세 결과의 기록 개수가 같으려면2ᵏ가3의 배수여야 하는데 그렇지 않다.
교사는 ‘공정하다’는 설명에 선택 없이 끝나는 경우가 숨지 않았는지 확인한다. 선택이 완료된 기록의 공정성과 모든 시행에서 반드시 선택을 하는 규칙은 함께 검토할 두 조건이다. 실패 기록을 표에서 지운 뒤 분모를16으로 유지하는 오답도 찾을 수 있다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#99: Independence Day (part 2)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.