서로 다른 공 두 개를 상자 A,B,C 중 하나에 각각 독립적으로 같은 확률로 넣는다. 빈 상자의 개수를 X라 한다. 각 상자가 빌 확률이4/9이므로 X가 B(3,4/9)를 따른다는 주장을 검토하라.
상자 하나가 비려면 공 두 개가 모두 다른 두 상자 중 하나에 들어가야 하므로(2/3)²=4/9이다. 이 계산은 맞다. 그러나 세 상자의 빈 여부는 서로 독립이 아니다.
전체9개 기록에서 두 공이 같은 상자에 들어가는3개 기록은 빈 상자2개를 남긴다. 다른 상자에 들어가는6개 기록은 빈 상자1개를 남긴다.
공이 두 개뿐이므로 빈 상자0개는 불가능하다. 반면 제안한 이항분포는 X=0에(5/9)³라는 양의 확률을 준다. 이 한 값만으로도 다른 분포임을 확인할 수 있다.
A와 B가 동시에 빌 확률은 두 공이 모두 C에 들어갈 확률1/9이다. 두 빈 확률의 곱16/81과 다르므로 독립 조건도 직접 실패한다.
평균은 우연히 제안한 이항분포 평균3×4/9와 같다. 평균을 맞추는 검사만으로 분포 전체가 맞다고 결론낼 수 없다. 불가능한 결과와 독립 조건을 따로 확인해야 한다.
교사는 ‘세 개를 센다’는 이유로 시행 횟수를3으로 정한 답안을 본다. 독립인 것은 공을 넣는 두 선택이며 상자의 빈 여부 세 개가 아니다. 어떤 대상의 독립을 알고 있는지 문장으로 적게 한다.
평균의 단위도 빈 상자의 개수라는 점을 적는다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#100: Independence Day (part 3)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.