세 사람의 생일을 세 날 중 독립적으로 같은 확률로 정한다. 생일이 같은 쌍을 얻는 두 절차를 비교한다. 얻은 쌍 외의 사람도 그 생일일 확률을 구하라.
절차A는 먼저 세 생일을 정하고, 같은 생일 쌍이 하나라도 있으면 그런 쌍 중 하나를 같은 확률로 고른다. 같은 쌍이 없으면 종료한다.
전체27기록 중 완료되는 기록21개, 세 생일이 모두 같은 기록3개다. 모두 같은 기록에서 어느 쌍을 골라도 남은 사람의 생일은 같다.
절차B는 사람 쌍 세 개 중 하나를 같은 확률로 먼저 고른 뒤 세 생일을 정한다. 선택한 두 생일이 같을 때만 완료한다.
선택한 두 사람이 같은 날이라는 조건을 붙여도 남은 사람의 생일은 세 날 중 독립·균등하다.
두 절차는 모두 완료할 때 같은 생일 쌍을 보여 준다. 그러나 완료되는 기록을 고르는 기준이 달라 남은 사람의 확률도 달라진다. 절차B에서는 세 생일이 모두 같은 기록에 고를 수 있는 쌍 세 개가 있어 선택 기록의 비중이 커진다.
교사는 ‘같은 쌍 하나를 골랐다’는 정보만 쓰지 않는다. 생일을 본 뒤 가능한 쌍을 골랐는지, 먼저 쌍을 고른 뒤 일치 기록을 남겼는지 적어야 한다. 관찰된 쌍의 모양이 같다고 조건부확률까지 같다고 결론내릴 수 없다.
출처·착안: Kevin Ross (guest, Ask Good Questions), 「#54 Probability without calculus or computation」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.