X가 정규분포를 따르고 P(0≤X≤1)=0.3413이라고 알려졌다. 표의 근삿값이며 표준정규분포에서0부터1까지의 확률도0.3413이다. 이 정보로 모평균이1/2라고 결론낼 수 있는지 검토하라.
첫 후보 XN(0,1)은 주어진 구간 확률을 만족한다. 둘째 후보 XN(1,1)도 표준화하면
으로 같은 정보를 만족한다. 두 모평균은0과1로 서로 다르다. 주어진 확률 하나만으로 모평균을 정할 수 없다.
구간의 중점이1/2라는 사실과 분포가 그 점을 중심으로 대칭이라는 사실은 다르다. 정규분포가 어떤 평균에서 대칭인 것은 맞지만 임의로 제시한 구간의 중점이 바로 평균이라는 조건은 없다.
평균0인 첫 후보에서 구간은 평균의 오른쪽이고, 평균1인 둘째 후보에서 구간은 평균의 왼쪽이다. 정규분포의 대칭이 두 확률을 같게 만든다. 주어진 확률값은 그 방향 정보를 담지 않는다.
교사는 정규분포 표에서 같은 값을 찾았다는 이유로 평균을 먼저0으로 놓는 답안도 본다. 표는 표준화한 변수의 확률이며 원래 X의 평균을 자동으로 알려 주지 않는다.
모평균을 하나 구하라는 문항을 만들려면 다른 위치·확률 조건이 필요한지 확인한다. 현재는 두 후보만 제시해도 유일한 값이라는 결론을 반박할 수 있다. 가능한 정규분포 전체를 구하는 더 큰 문제를 풀 필요는 없다.
표의 자릿수 때문에 생긴 모호성만이 아니다. 두 분포는 대칭으로 실제 구간 확률이 정확히 같아 더 정밀한 표를 주어도 이 두 후보가 구별되지 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Notes for Introducing Z Scores」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.