두 평면씩 모두 만나면 세 평면도 한 점에서 만날까

\alpha:x=0,\qquad\beta:y=0,\qquad\gamma:x+y=1.

세 평면은 두 평면씩 모두 만난다. 그렇다면 세 평면의 공통점도 있는가? 각 교선과 전체 공통점 조건을 구하라.

α와β의 교선은 (0,0,t), α와γ는 (0,1,t), β와γ는 (1,0,t)다. t는 모두 실수다. 세 교선은 서로 평행하지만 같은 직선은 아니다.

전체 공통점은 x=0,y=0,x+y=1을 동시에 만족해야 한다. 앞의 두 조건에서 x+y=0이므로 세 번째와 모순이다. 따라서 세 평면의 공통점은 없다.

교사는 “둘씩 만난다”에서 선택한 점이 각 비교마다 달라도 되는지 살핀다. α∩γ 위의 점은 β 위에 없고, β∩γ 위의 점은 α 위에 없다. 각각 존재하는 교점 또는 교선을 하나의 공통점으로 합칠 수 없다.

γ의 식을 x+y=0으로 바꾸면 전체 공통점은 z축 전체다. 이 경우에도 한 점으로 정해지는 것은 아니다. 반면 γ를 z=1로 바꾸면 세 평면의 공통점은 (0,0,1) 하나가 된다.

세 번째 평면의 조건이 앞의 두 식과 모순인지, 이미 포함된 조건인지, 새 좌표를 정하는 조건인지에 따라 결과가 달라진다. 평면 수가 세 개라는 사실만으로 공통점 수를 정하지 않는다.

학생 답안에는 각 교선을 구한 줄 뒤에 전체 세 식을 다시 연립한 줄을 요구한다. 앞서 찾은 세 교선 가운데 하나를 정답으로 고르면 나머지 평면 조건을 빠뜨린 것이다. 같은 점이 모든 식을 만족하는지를 끝까지 확인한다.

공통점은 한 점이 모든 식에 동시에 들어간다는 뜻이다. 식마다 다른 점을 고르는 조건이 아니다.