a,b는 평행사변형의 인접한 두 변 벡터다. 다른 대각선의 길이 |a−b|를 구하라. 각을 모르므로 정해지지 않는다는 설명을 검토한다.
내적을 전개하면
두 식을 더하면 내적이 없어져 두 대각선 길이의 제곱 합은 50이다. 따라서 다른 길이는 √34다.
식을 만족하는 도형도 있는가
a=(3,0), b=(−3/2,√55/2)를 택하면 두 변의 길이는 3과 4다. 합의 길이는 4이고 차의 길이는 √34다. 두 벡터는 평행하지 않아 실제 평행사변형을 이룬다.
각을 먼저 구하는 방법도 가능하다. 내적은 −9/2로 정해지며 두 변이 이루는 각의 코사인은 −3/8이다. 하지만 각의 크기 자체를 역으로 구하지 않아도 다른 대각선의 길이를 얻는다.
대각선의 길이를 더해 3+4나 2×4로 정하는 답은 제곱 합과 길이 합을 혼동했다. 위 등식은 길이의 제곱을 전개한 결과이지 두 길이의 합에 대한 식이 아니다.
수업에서는 각이 주어지지 않았다는 학생의 관찰을 남긴다. 그다음 이미 주어진 첫 대각선이 내적에 관한 정보를 담고 있음을 두 식에서 확인하게 한다. 조건이 부족하다는 판단 전에 다른 조건이 어떤 정보를 제공하는지 읽는 문항이다.
구한 √34를 실제 벡터 예에 대입하는 줄을 해설에 둔다. 제곱식의 값이 계산되었다는 사실과 그런 도형이 존재한다는 확인을 함께 갖춘다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.