맞은편 변에 수직이라는 세 조건만으로 높이의 교점을 정할까

A=(0,0,0),\quad B=(4,0,0),\quad C=(0,4,0),\quad H=(x,y,z).

AH가BC에, BH가CA에, CH가AB에 수직이라는 내적 조건만 세워 삼각형의 세 높이의 교점을 구한 풀이를 검토하라.

세 내적 조건은 차례로

-4x+4y=0,\qquad4y=0,\qquad4x=0.

따라서 x=y=0이지만 z는 정해지지 않는다. H=(0,0,1)도 내적 조건을 모두 만족한다.

삼각형ABC는 z=0 평면에 있다. 세 높이도 이 평면 위의 직선이므로 H에 z=0을 더해야 한다. 그때 H=A=(0,0,0)으로 하나다. 직각삼각형에서 두 직각변을 포함하는 높이가 만나는 꼭짓점과 맞는다.

공간에서 한 벡터와 내적0인 방향은 한 방향뿐이지 않다. 각 내적식은 삼각형의 평면 밖에서도 만족할 수 있다. AH의 끝점이 높이 직선 위라는 조건을 내적 하나만으로 바꾸면서 평면 조건이 사라졌다.

H=A에서는 AH가 영벡터다. 내적0인 점으로 기록하되 영벡터의 각을90°라고 표현하지 않는다. 높이 직선은 A를 지나고 BC에 수직인 삼각형 평면 위의 직선으로 정의되어 있으며, 그 위에 A도 포함된다.

해설에는 공간의 후보 집합과 삼각형 안의 실제 높이 직선을 구별한다. 세 식을 다 썼다는 사실이 모든 필요한 조건을 썼다는 뜻은 아니다. H의 z좌표가 남는 이유를 물으면 연립계산과 도형 정의의 연결을 확인할 수 있다.

후보H=(0,0,1)은 삼각형 위로 떨어져 있다. 세 내적이0인 이유를 그림에서 확인하면 모든 식을 맞혔는데도 실제 높이의 교점이 아닌 상황을 설명할 수 있다.