수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

두 배하고 3을 더한다, 수열 자체를 등비수열로 부르기 전에

a₁=2, aₙ₊₁=2aₙ+3의 첫 네 항은 2,7,17,37.

글자가 새겨진 목재 블록 두 기둥

사진: Bobjgalindo · CC BY 4.0 · 원본 출처

a1=2,an+1=2an+3(n=1,2,…) \begin{gathered} a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n+3\\ (n=1,2,\ldots) \end{gathered}

첫 네 항과 일반항을 구하라.

2,7,17,37 2,\quad7,\quad17,\quad37

두 배한 뒤 매번 3을 더한다. 2,7,14,282,7,14,28로 적었다면 세 번째부터 조건을 빠뜨린 것이다.

3을 더한 수열을 따로 보기

bn=an+3,b1=5bn+1=an+1+3=2an+6=2(an+3)=2bn \begin{gathered} b_n=a_n+3,\quad b_1=5\\ b_{n+1}=a_{n+1}+3=2a_n+6\\ =2(a_n+3)=2b_n \end{gathered}

bnb_n은 공비가 2인 등비수열이다.

bn=5⋅2n−1an=5⋅2n−1−3 \begin{gathered} b_n=5\cdot2^{n-1}\\ \boxed{a_n=5\cdot2^{n-1}-3} \end{gathered}

새 수열을 만들며 더한 3은 마지막에 다시 뺀다. an=5⋅2n−1a_n=5\cdot2^{n-1}로 끝낸 답에는 어느 수열의 일반항인지 묻는다.

ana_n 자체는 등비수열이 아니다. 첫 두 비 7/27/2, 17/717/7부터 다르다. 공비 2는 bnb_n에 대한 말이므로 기호를 함께 남긴다.

마지막에는 일반항에 n=1,2n=1,2를 넣어 2와 7이 나오는지 확인한다. 첫째항과 이웃한 항 사이의 조건을 모두 만족해야 한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.