공을 돌려놓는 한 문장, 이항분포를 써도 되는가

주머니에 빨간 공3개와 파란 공3개가 있다. 공을 같은 확률로 하나씩 세 번 뽑는다. 빨간 공이 정확히 두 번 나올 확률을 각각 구하라.

• A: 매번 공을 돌려놓고 충분히 섞어 서로 독립으로 뽑는다.
• B: 공을 돌려놓지 않는다.

A는 공을 돌려놓고 충분히 섞어 매번 독립으로 뽑는 조건에서 성공 확률이 $1/2$로 유지된다. B는 첫 빨간 공을 뽑은 뒤 남은 빨간 공이2개가 되어 다음 확률이 달라진다. 두 상황에 같은 이항분포 공식을 적용할 수 없다.

B를 순서로 계산해도 확인된다. 빨빨파의 확률은 $(3/6)(2/5)(3/4)=3/20$이고, 빨파빨·파빨빨도 각각 $3/20$이다. 세 경우를 합치면 $9/20$이다.

교사는 “세 번 뽑는다”라는 문장 뒤에 복원 여부와 매번 충분히 섞는 조건을 붙인다. 학생이 조합 기호를 먼저 쓰기보다 두 번째 분모가6인지5인지 적게 하면 어떤 시행을 읽었는지 드러난다.

오답 $3/8$이 B에도 나타나면 처음 빨간 공 비율만 사용했는지 확인한다. 오답 $3/20$이면 빨빨파라는 한 순서만 센 답인지 묻는다. 조건 누락과 순서 누락은 보완할 질문이 다르다.

후속 문항은 “첫 두 번이 빨간 공일 때 셋째도 빨간 공일 확률”로 바꾼다. A는 $1/2$,B는 $1/4$이다. 전체 성공 횟수 문항 뒤에도 독립의 뜻을 한 줄로 확인할 수 있다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.