끝난 기록만 골랐을 때, 두 번 던진 기록의 비율

공정한 주사위를 서로 독립으로 최대 두 번 던지되, 첫 6이 나오면 멈춘다. $E$를 ‘두 번 이내에 첫 6이 나오고, 그전 눈은 모두 짝수인 사건’이라 하자. 첫 던짐의 6도 포함한다. $E$에 속한 기록 중 두 번 던진 기록의 비율을 구하라.

기록 이름은 세 개지만 확률은 같지 않다. 첫 던짐이 6이면 두 번째 던짐을 하지 않기 때문에, 두 숫자로 된 각 기록보다 원래 시행에서 더 자주 나타난다.

전체를 두 던짐의 36칸으로 생각해도 확인할 수 있다. 첫 눈이 6인 여섯 칸은 모두 한 번 던진 기록으로 합쳐지고, 2 다음 6과 4 다음 6의 두 칸이 추가된다. 남은 여덟 칸 중 두 칸이므로 $1/4$이다.

교사는 “그전 눈은 모두 짝수”라는 말만 제시하지 않고, 첫 6도 포함한다고 명시한다. 앞서 짝수가 적어도 한 번 있어야 한다고 읽으면 분모에서 한 번 던진 기록이 빠져 버린다.

학생 답이 $2/3$이면 세 기록을 같은 확률로 보았는지, 1이면 첫 기록을 제외했는지부터 확인한다. 같은 계산식에 다시 값을 넣는 것보다 어느 기록을 분모에 남겼는지 묻는 편이 수정 지점을 잘 드러낸다.

출처·착안: Ben Orlin, 「A Probability Puzzle That You’ll Get Wrong」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.