만남 조건을 |X−Y|<10에서 |X−Y|≤10으로 바꾼다. 다음 두 모형에서 확률이 바뀌는지 확인하라. 두 도착 시각은 각각 독립이다.
A: 각 시각이0~20분에서 균등하게 정해진다.
B: 각 시각이0,10,20분 중 하나로 같은 확률로 정해진다.
A에서는 두 조건 모두3/4이다. 정사각형에서 시각 차이가 정확히10인 두 선분은 넓이가0이므로 포함 여부가 넓이 비율을 바꾸지 않는다.
B에서는9개의 순서쌍이 같은 확률이다. 엄격한 부등식에는 (0,0),(10,10),(20,20)만 들어가므로1/3이다. 등호를 허용하면 (0,10),(10,0),(10,20),(20,10)의 네 쌍이 추가되어7/9가 된다.
“경계이므로 확률이0”이라는 문장을 모든 모형에 적용하면 B의 네 결과를 지운다. 반대로 B의 네 쌍을 보고 A에서도 확률이 달라진다고 판단하면 연속 영역의 크기를 결과 개수로 바꾸어 센 것이다.
교사는 풀이 첫 줄에 시각이 정해지는 규칙을 쓰게 한다. 같아 보이는 부등식보다 어떤 결과가 같은 확률을 갖는지가 분모를 결정한다. A는 넓이400, B는 순서쌍9개를 기준으로 계산한다.
마지막 질문은 경계의 모양을 말하는 것으로 끝내지 않는다. 그 모형에서 경계가 전체 확률 중 얼마를 차지하는지 쓰게 한다. B에서는4/9이고 A에서는0이라는 답이 두 계산의 차이를 정확히 설명한다.
표에는 X를 행, Y를 열로 적는다. 같은 시각쌍을 두 번 세거나 순서를 지우지 않도록 두 도착 시각의 이름을 끝까지 유지한다.
출처·착안: Allan Rossman, 「Random rendezvous, part 2」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.