“그러므로 a와 b가 수직이다”라는 결론이 맞는가? 위 내적이 0이라는 정보가 실제로 뜻하는 조건을 설명하라.
합은 (7,7), 차는 (−1,1)이므로 내적은 −7+7=0이다. 그러나 a·b=12+12=24로 0이 아니다. 원래 두 벡터는 수직이 아니다.
따라서 이 정보는 두 벡터의 크기가 같다는 뜻이다. 이 예에서도 두 크기는 모두 5다. 내적이 0인 두 대상은 합과 차이며, a와 b가 아니라는 것을 식에서 먼저 읽어야 한다.
교사는 학생이 적은 수직 기호 양쪽의 벡터를 확인한다. 앞에서 계산한 두 대상과 결론에서 이름 붙인 두 대상이 달라졌다면 곱셈을 다시 연습시키기보다 그 교체를 수정하게 한다. 식을 전개하면 어떤 정보가 없어지고 어떤 정보가 남는지 볼 수 있다.
후속으로 a=b=(1,0)을 주어 같은 등식을 확인한다. 합과 차의 내적은 여전히 0이지만 차가 영벡터이므로 두 방향이 이루는 각을 90°라고 말할 수 없다. 내적의 대수식이 맞는 것과 영벡터 아닌 두 방향의 수직 판단은 조건이 다르다.
문항에 크기가 같다는 결론만 요구할 때는 영벡터 경우도 식으로 처리된다. 합과 차가 이루는 각까지 요구할 때는 두 벡터가 모두 영벡터가 아닌지 추가로 확인해야 한다. 어떤 질문을 했는지에 따라 필요한 전제가 달라진다.
식의 두 괄호를 각각 하나의 벡터로 표시하면 어떤 두 대상을 비교했는지 눈에 들어온다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.