공이 출발점에서 도착점까지 움직인 사진을 좌표로 옮겼다. 궤적은 y=(5/9)x(6−x), 0≤x≤6이다. x와 y의 단위는 m다. 사진만 보고 ‘3초 후에 도착한다’고 말할 수 있을까?
문항의 조건에 시간 정보는 없다. 최고 높이는 알 수 있다. 완전제곱식으로 바꾸면 y=5−(5/9)(x−3)²이므로 최고 높이는 5m이고 그 위치는 x=3이다. 그러나 x가 1초마다 얼마나 늘어나는지는 주어지지 않았다.
가능한 두 모형을 만들어 보자. 가로 방향 속력이 일정하다는 추가 조건 아래 x=2t라면 0≤t≤3이고 y=(5/9)(2t)(6−2t)이다. x=t라면 0≤t≤6이고 y=(5/9)t(6−t)이다. 두 공은 같은 공간 궤적을 그리지만 도착 시간은 각각 3초와 6초다. 이 모형은 실제 공의 운동을 측정해 얻은 결과가 아니라, 사진만으로 시간이 정해지지 않음을 보이는 수학적 예다.
수업에서는 최고 높이와 도착 시간을 한꺼번에 계산시키기 전에 ‘어떤 정보가 아직 없는가’를 적게 할 수 있다. 교사 질문은 이것이다. 가로 방향 속력이 일정하다는 조건만 추가하면 충분한가? 일정한 속력의 값이나 한 구간을 지나는 시간도 있어야 도착 시간이 정해진다.
착안한 공개 원문: The Three Acts Of A Mathematical Story. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.