같은 컵을 포개어 쌓는다. 한 개의 높이는 8cm, 두 개를 포갠 높이는 9.5cm다. 컵을 하나 더 넣을 때마다 높이가 1.5cm씩 늘어난다는 조건을 둔다. 내부 높이가 30cm인 상자에 똑바로 넣을 수 있는 컵은 최대 몇 개일까?
‘컵마다 8cm이므로 세 개만 들어간다’는 계산은 포개진 부분을 놓친다. 첫 컵이 만드는 8cm는 한 번만 생기고, 그 뒤 n−1개가 각각 1.5cm를 더한다. 따라서 n≥1인 정수에 대해 Hₙ=8+1.5(n−1)이다.
Hₙ≤30을 풀면 n≤47/3이다. 컵 수는 정수이므로 최댓값은 15개다. 바로 옆의 두 값을 대조하면 H₁₅=29cm, H₁₆=30.5cm다. 경계값을 확인하는 이 두 계산이 ‘반올림해서 16개’라는 답을 막아 준다.
계산 뒤의 질문도 남는다. 이 답은 높이가 부족하지 않다는 결론이지, 컵이 쓰러지지 않는다거나 뚜껑을 닫기 쉽다는 실험 결과는 아니다. 또 두 컵의 측정값만으로 모든 추가 높이가 같다고 증명한 것도 아니다. 여기서는 그 규칙을 문항의 조건으로 주었다. 교사 질문은 ‘규칙을 확인하려면 세 번째 컵에서 무엇을 측정할까’다. 높이 11cm가 나오는지 확인하고, 더 큰 묶음에서도 규칙이 유지되는지 살필 수 있다.
착안한 공개 원문: The Three Acts Of A Mathematical Story. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.