6x²+x−2를 인수분해하는 풀이가 있다. 6x²+4x−3x−2=2x(3x+2)−1(3x+2)=(2x−1)(3x+2). 학생은 ‘중간항을 4x와 −3x로 나누면 왜 갑자기 같은 괄호가 생기는가’라고 묻는다.
마지막 줄을 먼저 거꾸로 전개하면 이유가 보인다. (2x−1)(3x+2)는 6x², 4x, −3x, −2의 네 곱으로 나뉜다. 중간의 두 항은 합하면 x가 되고, 그 계수의 곱은 4×(−3)=−12다. 이는 처음 이차항 계수와 상수항의 곱 6×(−2)와 같다.
그러나 ‘곱이 −12인 두 수’를 찾았다고 끝나지는 않는다. 6과 −2도 곱은 −12지만 합은 4이므로 원래 중간항 x를 바꿔 버린다. 두 조건 4+(−3)=1, 4(−3)=−12를 함께 확인해야 한다. 나눠 쓴 항을 적절히 묶으면 공통 괄호가 나타난다. −3x+4x의 순서로 쓰면 3x(2x−1)+2(2x−1)이라는 다른 공통 괄호를 얻어 같은 인수분해에 도달한다.
교사 질문은 ‘마지막에 묶는 규칙을 말로 설명할 수 있는가’다. A·B+C·B=(A+C)B이므로 두 덩어리에 같은 B가 있을 때 그 B를 한 번만 쓴다. 공통 괄호를 발견하기 전 이 짧은 분배법칙의 역을 말하게 하면 중간항 분해가 단순한 주문으로 남지 않는다.
착안한 공개 원문: A History of the Grouping Method. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.