다음 세 정적분의 값을 구하라. I=∫₀¹2x(x²+1)dx, J=∫₀¹2x/(x²+1)dx, K=∫₀¹2x/(x²+1)²dx. 계산 전에 x²+1을 어떤 새 변수로 볼 수 있는지 표시한다.
u=x²+1이면 du=2x dx이고 양 끝은 u=1,2다. I는 ∫₁²u du=3/2, J는 ∫₁²(1/u)du=ln2, K는 ∫₁²u⁻²du=1/2이다. 세 적분의 분자가 같아도 u, u⁻¹, u⁻²는 서로 다른 거듭제곱이다. u⁻¹의 경우만 거듭제곱의 일반 적분식에서 지수가 −1이 되어 로그를 따로 사용한다.
역미분으로 확인할 수 있다. (x²+1)²/2의 도함수는 2x(x²+1), ln(x²+1)의 도함수는 2x/(x²+1), −1/(x²+1)의 도함수는 2x/(x²+1)²이다. x²+1은 항상 양수라 로그와 분모의 조건도 만족한다.
교사 질문은 ‘같은 치환을 썼다는 것과 같은 원시함수를 얻었다는 것은 같은가’다. 치환은 반복 구조를 정리하는 첫 단계이고, 그 다음에는 바뀐 함수의 형태를 다시 판단해야 한다. 섞인 복습에서 첫 줄을 적게 하는 이유를 구체적으로 보여 주는 문항이다.
착안한 공개 원문: Research Bite #78: Mixing problems increases performance of all students but especially of low-achieving ones in college calculus. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.