t≥0에서 h(t)=t/(t+1)이다. h는 증가하는가? 정수 n≥0에서 한 칸 증가량 Δₙ=h(n+1)−h(n)은 증가하는가? 두 질문을 각각 답하라.
h′(t)=1/(t+1)²>0이므로 h는 계속 증가한다. 그러나 h″(t)=−2/(t+1)³<0이므로 기울기는 줄어든다. 함수가 증가한다는 사실과 도함수가 증가한다는 사실은 같지 않다.
정수 간격의 증가량으로도 확인할 수 있다. h(n)=1−1/(n+1)이므로 Δₙ=1/((n+1)(n+2))다. 모두 양수라 값은 늘지만, 분모가 커지므로 Δₙ은 감소한다. 처음 세 증가량은 1/2,1/6,1/12다.
교사 질문은 ‘증가량이 감소하면 원래 값도 감소한다고 말해도 되는가’다. 증가량의 크기가 줄어드는 것과 증가량의 부호가 바뀌는 것은 다르다. 이 문항에서는 증가량이 줄어도 항상 양수다. 그래프의 높이, 일정 간격의 차, 한 점의 기울기라는 세 표현을 연결하되 같은 값이라고 놓지 않는 활동이다.
착안한 공개 원문: Functions and Rates of Change. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.