삼각형의 표지 점이 A=(0,0), B=(3,0), C=(0,1)이다. y축에 반사하면 A′=(0,0), B′=(−3,0), C′=(0,1)이 된다. A,B,C의 표지를 각각 A′,B′,C′에 맞추면서 평행이동과 회전만으로 옮길 수 있을까?
맞출 수 없다. 두 벡터 u=(u₁,u₂), v=(v₁,v₂)에 대해 D=u₁v₂−u₂v₁을 방향 검사값으로 쓰자. 원래 AB=(3,0), AC=(0,1)이므로 D=3이다. 반사 뒤에는 D=−3이다.
평행이동은 두 점 사이의 벡터를 바꾸지 않는다. 각 θ의 회전은 행렬의 행렬식이 cos²θ+sin²θ=1이므로 이 방향 검사값을 유지한다. 반사는 부호를 바꾼다. 따라서 표지를 유지하며 이동·회전만 한 삼각형은 방향값3을 가지며 목표의−3과 같을 수 없다.
교사 질문은 ‘길이가 모두 같으면 어떤 변환으로든 같은 자리로 놓을 수 있는가’다. 두 삼각형은 합동이지만 허용한 변환이 회전·평행이동뿐이면 방향이 제약이다. 표지 조건을 먼저 붙여 점 대응을 분명히 한다. 이는 원문 타일의 정리와 별개의 고교 벡터·행렬 설명이다.
착안한 공개 원문: Embroidering an aperiodic tiling. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.