u=(2,1), v=(1,−2), w=(4,−3)다. w=αu+βv가 되게 하는 실수 α,β를 구하고 재구성해서 확인하라.
첫 단계는 직교 확인이다. u·v=2−2=0이다. u·u=v·v=5이고0이 아니므로 두 벡터를 분해 방향으로 쓸 수 있다. 확인 질문: 직교가 아니면 아래의 간단한 나눗셈이 그대로 가능할까? 일반적으로는 교차항이 남는다.
두 번째 단계에서 양변에 u를 내적하면 w·u=5=5α라α=1이다. v와 내적하면 w·v=10=5β라β=2다. α=1은 첫 방향의 스칼라 계수이지 첫 벡터 성분 자체가 아니다. 첫 벡터 성분은 αu=(2,1)이다.
세 번째 단계는 재구성이다. u+2v=(2,1)+(2,−4)=(4,−3)=w다. 교사 질문은 ‘답1,2를 좌표로 써서 w=(1,2)라고 하지 않았는가’다. 기준 벡터가 표준 좌표축이 아닐 때 분해 계수와 원래 좌표는 다르다. 단계 바로 옆에 재구성 검사를 두면 이 혼동을 확인할 수 있다.
착안한 공개 원문: Textbooks Don't Have to Be This Bad. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.