m≥0인 정수에 대해2ᵐ을 연속된 양의 정수 두 개 이상의 합으로 나타낼 수 있는가? 시작값a≥1, 항수k≥2로 두고 식을 써 보자.
합은k(2a+k−1)/2이므로 k(2a+k−1)=2ᵐ⁺¹이다. k가 홀수이면 k≥3인 홀수가2의거듭제곱을 나누어야 하므로 불가능하다.
k가 짝수라k=2q,q≥1이면2ᵐ=q(2a+2q−1)이다. 두 번째 인수는 홀수이고a,q≥1에서3 이상이다. 역시2의거듭제곱은3 이상의 홀수 인수를 갖지 않으므로 불가능하다. 두 경우를 모두 다뤘으니 모든2ᵐ은 그런 연속합으로 만들 수 없다.
교사 질문은 ‘0이나 음수도 허용하면 같은 결론인가’다. 아니다.1은0+1,2는−1+0+1+2로 쓸 수 있다. 따라서 양의 정수와두항이상이라는 조건을 증명에 사용한 위치를 표시한다. 이 탐구는 모든 자연수의 완전한 분류를 주장하지 않고2의거듭제곱 부류만 증명한다.
착안한 공개 원문: Glimpses. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.